如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=22．（1）若点P在底面ABC内的射影是点O，试指出点O的位置，并说明理由；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2√(2)．
（1）若点P在底面ABC内的射影是点O，试指出点O的位置，并说明理由；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（1）∵AC=4，AB=BC=2√(2)，∴AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC

∵PA=PB=PC，∴点P在底面ABC内的射影O，满足OA=OB=OC
∴O是AC的中点；
（2）证明：由（1）知，PO⊥平面ABC．
∵PO⊂平面APC，
∴平面ABC⊥平面APC；
（3）取BC的中点为E，过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，则∠APF就是PA与平面PBC所成的角
∵PB=PC=4，BC=2√(2)，又BE=CE，∴BE⊥PE，BE=√(2)，
∴由勾股定理，有PE=√(14)．
∴S_△PBC=(1)/(2)BC×PE=(1)/(2)×2√(2)×√(14)=2√(7)．
∴V_A-PBC=(1)/(3)S_△PBC×AF=

作业帮用户 2017-09-23

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