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在底面是边长为6的正方形的四棱锥P-ABCD中,点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心,异面直线PB与AD所成角的正切值为53,则四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比为.
题目详情
在底面是边长为6的正方形的四棱锥P-ABCD中,点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心,异面直线PB与AD所成角的正切值为
,则四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比为___.
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▼优质解答
答案和解析
由题意,四棱锥P-ABCD为正四棱锥,PA=PB=PC=PD,
∵AD∥BC,
∴异面直线PB与AD所成角为∠PBC,
取BC中点E,则tan∠PBC=
=
,
∴PE=5,HP=4,
从而四棱锥P-ABCD的表面积为S=
×6×5×4+6×6=96,V=
×6×6×4=48,
∴内切球的半径为r=
=
.
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O,外接球的半径为R,则OP=OA,
∴(4-R)2+(3
)2=R2,
∴R=
,
∴
=
.
故答案为:
.
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_1c5dc20b9eda760fae388850f5d996f5.jpg)
∵AD∥BC,
∴异面直线PB与AD所成角为∠PBC,
取BC中点E,则tan∠PBC=
PE |
BE |
5 |
3 |
∴PE=5,HP=4,
从而四棱锥P-ABCD的表面积为S=
1 |
2 |
1 |
3 |
∴内切球的半径为r=
3V |
S |
3 |
2 |
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O,外接球的半径为R,则OP=OA,
∴(4-R)2+(3
2 |
∴R=
17 |
4 |
∴
r |
R |
6 |
17 |
故答案为:
6 |
17 |
看了 在底面是边长为6的正方形的四...的网友还看了以下:
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