在底面是边长为6的正方形的四棱锥P-ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为53，则四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比为．

Question

在底面是边长为6的正方形的四棱锥P-ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为 (5)/(3)，则四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比为___．

Answer 1

由题意，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，PA=PB=PC=PD，
∵AD∥BC，
∴异面直线PB与AD所成角为∠PBC，
取BC中点E，则tan∠PBC=(PE)/(BE)=(5)/(3)，
∴PE=5，HP=4，
从而四棱锥P-ABCD的表面积为S=(1)/(2)×6×5×4+6×6=96，V=(1)/(3)×6×6×4=48，
∴内切球的半径为r=(3V)/(S)=(3)/(2)．
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，
∴（4-R）²+（3√(2)）²=R²，
∴R=(17)/(4)，
∴(r)/(R)=(6)/(17)．
故答案为：(6)/(17)．