在三棱锥A-BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为22，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为．

Question

在三棱锥A-BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2√(2)，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为______．

Answer 1

∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，
∴三棱锥A-BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，
令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，
∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，
∴DE=√(3)，∴PE=(√(3))/(3)，DP=(2√(3))/(3)
∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2√(2)，
∴AP=(2√(6))/(3)，
∵AD²=AP²+DP²（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，
∴三棱锥为正四面体，
构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为√(2)，
∴正方体的对角线长为√(6)，
∴外接球的半径为(√(6))/(2)
∴外接球的表面积=4πr²=6π
故答案为：6π．