对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a,b]属于D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]；那么把y=f(x)（x属于D）叫闭函数.（1）求闭函数y=-x^3符

Question

对于定义域为D的函数y=f(x) ,若同时满足下列条件：
① f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[ a,b]属于D ,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]；那么把y=f(x)（x属于D）叫闭函数.
（1）求闭函数y=-x^3 符合条件②的区间[a,b]；
（2）判断函数f(x)=(3/4)x+1/x (x大于0)是否为闭函数?并说明理由；
（3）若y=k+根号（x+2) 是闭函数,求实数k 的取值范围.

Answer 1

（1）显然函数y=-x^3在R上是减函数.
故区间[a,b]满足：
a＜b
-a^3=b
-b^3=a
解得
a=-1 b=1
∴ [a,b]=[-1,1].
(2) 函数y=2x-lgx的定义域为（0,+∞）,
取x=0.01,则y=2.02；
取x=1,则y=2；
取x=10,则y=19；
故函数不是单调递增或单调递减函数.
∴ 函数y=2x-lgx不是闭函数.
（3）函数y=k+ 根号内（x+2）是单调递增函数.若存在区间[a,b] ∈（-2,+∞ ） 符合条件（2）,
则
a＜b
k+根号内（a+2）=a
k+根号内（b+2）=a
有解.
即方程k+根号内(x+2)=x 有两个不相同的解.
即方程x^2-(2k+1)x+k^2-2=0 有两个不相同的不小于K的解.
∴△＞0
k^2-(2k+1)k+k^2-2≥0
(2k+1)/2＞1

解得- 9/4＜k≤-2 ,
∴ 实数k的取值范围为- 9/4＜k≤-2 .