如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影为A1B1的中点O，AC=BC=AA1，∠ACB=90°（1）求证：AB⊥CC1；（2）若CO=22，求点C到平面ABO的距离．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影为A₁B₁的中点O，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°

（1）求证：AB⊥CC₁；
（2）若CO=(√(2))/(2)，求点C到平面ABO的距离．

Answer 1

（1）证明：∵点C在平面A₁B₁C₁内的射影为A₁B₁的中点O，AC=BC
∴CO⊥A₁B₁，C₁O⊥A₁B₁，
∵CO∩C₁O=O，
∴A₁B₁⊥平面C₁OC，
∵CC₁⊂平面C₁OC，
∴A₁B₁⊥CC₁，
∵AB∥A₁B₁，
∴AB⊥CC₁；
（2） 设AC=a，
∵AC=BC=AA₁，∠ACB=90°，CO=(√(2))/(2)，
∴a²=(1)/(2)+(1)/(2)a²，
∴a=1，
∴S_△ABC=(1)/(2)
设点C到平面ABO的距离为h，则
∵S_△OAB=(1)/(2)×√(2)×1=(√(2))/(2)，
∴由等体积可得(1)/(3)×(√(2))/(2)h=(1)/(3)×(1)/(2)×(√(2))/(2)，
∴h=(1)/(2)．