如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．（1）求证：直线PE是O的切线；（2）在图2中，设PE与O相切于点H，连结AH，点D是O的劣弧AH上一点，过

Question

如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．
（1）求证：直线PE是 O的切线；
（2）在图2中，设PE与 O相切于点H，连结AH，点D是 O的劣弧

AH

上一点，过点D作 O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH=(1)/(2)，求EH的长．

Answer 1

证明：（1）如图1，

作OH⊥PE，
∴∠OHP=90°，
∵∠PAE=90，
∴∠OHP=∠OAP，
∵PO是∠APE的角平分线，
∴∠APO=∠EPO，
在△PAO和△PHO中

∠OHP=∠OAP

∠OPH=∠OPA

OP=OP

，
∴△PAO≌△PHO，
∴OH=OA，
∵OA是 O的半径，
∴OH是 O的半径，
∵OH⊥PE，
∴直线PE是 O的切线．
（2）如图2，连接GH，

∵BC，PA，PB是 O的切线，
∴DB=DA，DC=CH，
∵△PBC的周长为4，
∴PB+PC+BC=4，
∴PB+PC+DB+DC=4，
∴PB+AB+PC+CH=4，
∴PA+PH=4，
∵PA，PH是 O的切线，
∴PA=PH，
∴PA=2，
由（1）得，△PAO≌△PHO，
∴∠OFA=90°，
∴∠EAH+∠AOP=90°，
∵∠OAP=90°，
∴∠AOP+∠APO=90°，
∴∠APO=∠EAH，
∵tan∠EAH=(1)/(2)，
∴tan∠APO=(OA)/(PA)=(1)/(2)，
∴OA=(1)/(2)PA=1，
∴AG=2，
∵∠AHG=90°，
∵tan∠EAH=(GH)/(AH)=(1)/(2)，
∵△EGH∽△EHA，
∴(EG)/(EH)=(EH)/(AE)=(GH)/(AH)=(1)/(2)，
∴EH=2EG，AE=2EH，
∴AE=4EG，
∵AE=EG+AG，
∴EG+AG=4EG，
∴EG=(1)/(3)AG=(2)/(3)，
∵EH是 O的切线，EGA是 O的割线，
∴EH²=EG×EA=EG×（EG+AG）=(2)/(3)×（(2)/(3)+2）=(16)/(9)，
∴EH=(4)/(3)．