已知P是⊙O：x2+y2=1上一动点，线段AB是⊙C：（x-3）2+（y-4）2=1的一条动直径（A，B是直径的两端点），则PA•PB的取值范围是．

Question

已知P是⊙O：x²+y²=1上一动点，线段AB是⊙C：（x-3）²+（y-4）²=1的一条动直径（A，B是直径的两端点），则

PA

•

PB

的取值范围是______．

Answer 1

P是⊙O：x²+y²=1上一动点，设P（cosα，sinα），
线段AB是⊙C：（x-3）²+（y-4）²=1的一条动直径（A，B是直径的两端点），
设A（3+cosθ，4+sinθ），则B（3-cosθ，4-sinθ），
∴

PA

＝(3+cosθ−cosα，4+sinθ−sinα)，

PB

＝(3−cosθ−cosα，4−sinθ−sinα)，

PA

•

PB

＝(3+cosθ−cosα，4+sinθ−sinα)•(3−cosθ−cosα，4−sinθ−sinα)
=25-6cosα-8sinα
=25-10sin（α+β），tanβ=(3)/(4)．
又sin（α+β）∈[-1，1]，
∴

PA

•

PB

∈[15，35]．
故答案为：[15，35]．