早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证...已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求
题目详情
已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证...
已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证:直线MN经过定点(1,0)
已知圆O:x2+y2=4,点P是直线X=4上的动点,若点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为M,N,求证:直线MN经过定点(1,0)
▼优质解答
答案和解析
设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(1,0),
依题意,直线PA经过点A(-2,0),P(4,t),
可以设AP:y=t6(x+2),(6分)
和圆x2+y2=4联立,得到y=
t6(x+2)x2+y2=4,
代入消元得到,(t2+36)x2+4t2x+4t2-144=0,(7分)
因为直线AP经过点A(-2,0),M(x1,y1),所以-2,x1是方程的两个根,
所以有-2x1=
4t2-144t2+36,x1=
72-2t2t2+36,(8分)
代入直线方程y=
t6(x+2)得,y1=
t6(
72-2t2t2+36+2)=
24tt2+36.(9分)
同理,设BP:y=
t2(x-2),联立方程有y=
t2(x-2)x2+y2=4,
代入消元得到(4+t2)x2-4t2x+4t2-16=0,
因为直线BP经过点B(2,0),N(x2,y2),所以2,x2是方程的两个根,2x2=
4t2-16t2+4,x2=
2t2-8t2+4,
代入y=
t2(x-2)得到y2=
t2(
2t2-8t2+4-2)=
-8tt2+4.(11分)
若x1=1,则t2=12,此时x2=
2t2-8t2+4=1
显然M,Q,N三点在直线x=1上,即直线MN经过定点Q(1,0)(12分)
若x1≠1,则t2≠12,x2≠1,
所以有kMQ=
y1-0x1-1=
24tt2+3672-2t2t2+36-1=
8t12-t2,kNQ=
y2-0x2-1=
-8tt2+42t2-8t2+4-1=
-8tt2-12(13分)
所以kMQ=kNQ,所以M,N,Q三点共线,
即直线MN经过定点Q(1,0).
综上所述,直线MN经过定点Q(1,0).(14分)
依题意,直线PA经过点A(-2,0),P(4,t),
可以设AP:y=t6(x+2),(6分)
和圆x2+y2=4联立,得到y=
t6(x+2)x2+y2=4,
代入消元得到,(t2+36)x2+4t2x+4t2-144=0,(7分)
因为直线AP经过点A(-2,0),M(x1,y1),所以-2,x1是方程的两个根,
所以有-2x1=
4t2-144t2+36,x1=
72-2t2t2+36,(8分)
代入直线方程y=
t6(x+2)得,y1=
t6(
72-2t2t2+36+2)=
24tt2+36.(9分)
同理,设BP:y=
t2(x-2),联立方程有y=
t2(x-2)x2+y2=4,
代入消元得到(4+t2)x2-4t2x+4t2-16=0,
因为直线BP经过点B(2,0),N(x2,y2),所以2,x2是方程的两个根,2x2=
4t2-16t2+4,x2=
2t2-8t2+4,
代入y=
t2(x-2)得到y2=
t2(
2t2-8t2+4-2)=
-8tt2+4.(11分)
若x1=1,则t2=12,此时x2=
2t2-8t2+4=1
显然M,Q,N三点在直线x=1上,即直线MN经过定点Q(1,0)(12分)
若x1≠1,则t2≠12,x2≠1,
所以有kMQ=
y1-0x1-1=
24tt2+3672-2t2t2+36-1=
8t12-t2,kNQ=
y2-0x2-1=
-8tt2+42t2-8t2+4-1=
-8tt2-12(13分)
所以kMQ=kNQ,所以M,N,Q三点共线,
即直线MN经过定点Q(1,0).
综上所述,直线MN经过定点Q(1,0).(14分)
看了 已知圆O:x2+y2=4,点...的网友还看了以下:
点A,B分别是椭圆x^2/36+y^20=1长轴的左,右两端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上, 2020-04-12 …
1.点A,B分别是椭圆X^2/36+Y^2/20=1长轴的左右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆 2020-04-12 …
已知圆x平方+y平方+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点 且OP⊥OQ(O为坐已 2020-05-13 …
设椭圆E:x²/a²+y²/1-a²=1的焦点在x轴上若椭圆E的焦距为1设椭圆E:x²/a²+设椭 2020-05-15 …
1.椭圆c的焦点在x轴上,焦距为2,直线l:x-y-1=0与椭圆c交于A、B两点,F1是左焦点且F 2020-05-15 …
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在X轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1求:(1) 2020-05-16 …
椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,已知斜率为1/2的直线l 与椭圆C 相交...椭圆C 的中心 2020-05-16 …
急如图所示,已知矩形ABCD的边AB=3cmBC=4cm(1)以点A为圆心4cm为半径坐圆A则点B 2020-07-20 …
已知椭圆x/8+y/6=1,与圆(x-1)+y=1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M、N两点,若 2020-07-24 …
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1左焦点为F椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1左焦点为F, 2020-08-01 …