已知抛物线y2=6x上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）试证直线AB的垂直平分线经过定点．（2）设AB中点为M（x0，y0），求△ABC面

Question

已知抛物线y²=6x上的两个动点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁≠x₂且x₁+x₂=4．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．
（1）试证直线AB的垂直平分线经过定点．
（2）设AB中点为M（x₀，y₀），求△ABC面积的表达式，要求用y₀表示．
（3）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）设线段AB的中点为M（x₀，y₀），
则 x0＝(x1+x2)/(2)＝2，y0＝(y1+y2)/(2)，kAB＝(y2−y1)/(x2−x1)＝(y2−y1)/((y22)/(6)−(y21)/(6))＝(6)/(y2+y1)＝(3)/(y0)．
线段AB的垂直平分线的方程是y−y0＝−(y0)/(3)(x−2)，①
由题意知x=5，y=0是①的一个解，
所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C坐标为（5，0）．
所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…（4分）
（2）由①知直线AB的方程为y−y0＝(3)/(y0)(x−2)，
即 x＝(y0)/(3)(y−y0)+2，②
②代入y²=6x得y²=2y₀（y-y₀）+12，即y2−2y0y+2

y

2 0

−12＝0，③
依题意，y₁，y₂是方程③的两个实根，且y₁≠y₂，
所以△＝4

y

2 0

−4(2

y

2 0

−12)＝−4

y

2 0

+48＞0，−2√(3)＜y0＜2√(3)．
|AB|＝√((x1−x2)2+(y1−y2)2)
=√((1+((y0)/(3))2)(y1−y2)2)
=√((1+(y20)/(9))[(y1+y2)2−4y1y2])
=√((1+(y20)/(9))(4y20−4(2y20−12)))
=(2)/(3)√((9+y20)(12−y20))．
定点C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|＝√((5−2)2+(0−y0)2)＝√(9+y20)．
∴S△ABC＝(1)/(2)|AB|•h＝(1)/(3)√((9+y20)(12−y20))•√(9+y20)…（8分）
（3）由（2）知S_△ABC=(1)/(3)√((1)/(2)(9+y20)(24−2y20)(9+y20))
≤(1)/(3)√((1)/(2)((9+y20+24−2y20+9+y20)/(3))3)=(14)/(3)√(7)，…（11分）
当且仅当9+

y

2 0

＝24−2

y

2 0

，
即y0＝±√(5)，A((6+√(35))/(3)，√(5)+√(7))，B((6−√(35))/(3)，√(5)−√(7))
或A((6+√(35))/(3)，−(√(5)+√(7)))，B((6−√(35))/(3)，−√(5)+√(7))时等号成立．
所以，△ABC面积的最大值为(14)/(3)√(7)．…（13分）