三角形内到三边距离平方和最小有困难的话仅说明直角三角形也可是到三边距离不是定点

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三角形内到三边距离平方和最小
有困难的话仅说明直角三角形也可
是到三边距离不是定点

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答案和解析

对于直角三角形
该点是斜边上高的中点．

方法比较简单：
首先作辅助线：斜边上的高,三角形内任意一点到三边的垂线,以及该点到直角顶点的连线．该点到斜边高的垂线．
根据勾股定理以及斜边大于直角边即可判定该点必定在斜边高上,
又由于斜边高是定值,问题就变成了求
(d-x)^2 + x^2 的最小值了
易知这个点是高的中点．
对于一般的三角形情况,用解析几何来解决．答案是
当该点到三边的距离的比值与对应的三边的比值相等时,距离平方和最小,这个值为三角形面积的2倍．

我没有时间去笔算,用数学软件弄出来的,要看详细过程,就参考我的相册

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