对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）（1）证明：抛物线y=x2+px+q通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．

Question

对于给定的抛物线y=x²+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）
（1）证明：抛物线y=x²+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x²+ax+b=0与x²+px+q=0中至少有一个方程有实数解．

Answer 1

证明：（1）由ap=2（b+q），得q=(ap)/(2)-b，代入抛物线y=x²+px+q，
得：-y+x²-b+p（x+(a)/(2)）=0，
得

x+(a)/(2)＝0

−y+x2−b＝0

，
解得：

x＝−(a)/(2)

y＝(a2−4b)/(4)

，
故抛物线y=x²+px+q通过定点（-(a)/(2)，(a2−4b)/(4)）．

（2）由2q=ap-2b得p²-4q=p²-2•2q=p²-2（ap-2b）=（p-a）²-（a²-4b），
∴（p²-4q）+（a²-4b）=（p-a）²≥0，
∴p²-4q，a²-4b中至少有一个非负，
∴x²+ax+b=0与x²+px+q=0中至少有一个方程有实数解．