如图,已知∠A为定角,P,Q分别在∠A的两边上,PQ为定长．当P,Q处于什么位置时,△APQ的面积最大?

Question

如图,已知∠A为定角,P,Q分别在∠A的两边上,PQ为定长．当P,Q处于什么位置时,△APQ的面积最大?

Answer 1

从A点做PQ的垂线把PQ分成两段x、y对应的角为a,b
有a+b=A
x+y=PQ
垂线高度为x/tga=y/tgb x=ytga/tgb代入 x+y=PQ
有y=PQ/(1+ tga/tgb）高h=PQ/(tga+tgb）面积为PQ^2/(tga+tgb)
面积最大则tga+tgb具有最小值.（sinacosb+cosasinb）/cosacosb=2sin（a+b）/[cos(a+b)+cos(a-b)]=2sinA/[COSA+COS(a-b)]具有最小值,此时只有当cos（a-b）具有最大值时分式具有最小值.cos（a-b）=1,此时a=b角A的平分线即为PQ的垂线时,三角形面积最大,因此当三角形为等腰三角形时面积最大,最大为PQ^2 （COSA+1）/2sinA