如图所示，光滑水平地面上放有质量为m2=1kg的圆弧槽和质量为m3=1kg的长木板，木板的上表面与光滑圆弧面末端水平相切，m2与m3间用特殊的感应开关锁定在一起．有一个可视为质点的质量为m1=

Question

如图所示，光滑水平地面上放有质量为m₂=1kg的圆弧槽和质量为m₃=1kg的长木板，木板的上表面与光滑圆弧面末端水平相切，m₂与m₃间用特殊的感应开关锁定在一起．有一个可视为质点的质量为m₁=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=3m/s的初速度水平滑出，恰好无碰撞地从B点进入圆弧面，当m₁滑到C点时，m₂与m₃间的感应开关解除锁定，然后小物块滑上长木板．已知小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，圆弧面的半径为R=0.25m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=53°（sin53°=0.8，cos53°=0.6），不计空气阻力，取重力加速度为g=10m/s²．求：

（1）A、B两点的竖直高度差h；
（2）若固定圆弧槽，小物块到达圆弧面末端C点时对m₂的压力多大？
（3）若不固定圆弧槽，要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多长？

Answer 1

（1）根据几何关系可知：小物块在B点速度大小为：v_B=(v0)/(cos53°)=(3)/(0.6)=5m/s，
竖直分量：v_By=4 m/s 
下落高度：h=(vBy2)/(2g)=(16)/(20)=0.8m  
（2）A到C的过程中，根据动能定理得：m₁g[h+R（1-cosθ）]=(1)/(2)m₁v₁²-(1)/(2)m₁v₀²
C点：F_N-m₁g=m₁(v12)/(R)
由牛顿第三定律：F_N′=F_N=118N
（3）A到C对系统由水平动量守恒有：m₁v₀=m₁v₃-（m₂+m₃）v₄
由机械能守恒有m₁g[h+R（1-cosθ）]+(1)/(2)m₁v₀²=(1)/(2)m₁v₃²+(1)/(2)（m₂+m₃）v₄²
解得：v₃=5m/s；  v₄=1m/s
之后对m₁+m₂，根据动量守恒定律得：m₁v₃-m₂v₄=（m₁+m₂）v₅
μm₁gL=(1)/(2)m₁v₁²+(1)/(2)m₂v₄²-(1)/(2)（m₁+m₂）v₅²
解得：L=3m               
答：（1）A、B两点的竖直高度差h为0.8m；
（2）若固定圆弧槽，小物块到达圆弧面末端C点时对m₂的压力为118N；
（3）若不固定圆弧槽，要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少位3m．