如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F在边AD上运动，且AE=DF．CF交BD于G，BE交AG于H．（1）求证：∠DAG=∠ABE；（2）①求证：点H总在以AB为直径的圆弧上；②画出点H所在的圆弧，并说明这

Question

如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F在边AD上运动，且AE=DF．CF交BD于G，BE交AG于H．

（1）求证：∠DAG=∠ABE；
（2）①求证：点H总在以AB为直径的圆弧上；
    ②画出点H所在的圆弧，并说明这个圆弧的两个端点字母；
（3）直接写出线段DH长度的最小值．

Answer 1

（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD

∠BAD=∠CDA=90°

AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，

AD=CD

∠ADG=∠CDG=45°

DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠DAG=∠ABE；
（2）①如图1，∵∠DAG=∠ABE，∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
∴BE⊥AG，
∴点H总在以AB为直径的圆弧上；
②如图2，以AB的中点O为圆心，OA长为半径画弧，交BD于I（I是BD的中点），弧的两个端点为A和I．
（3）如图3，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=(1)/(2)AB=2cm，
在Rt△AOD中，OD=√(OA2+AD2)=√(22+42)=2√(5)，
根据三角形的三边关系，OH+DH>OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD-OH=2√(5)-2．