如图，P是半径为4cm的圆内一点，OP=2cm，过点P的弦与圆弧组成弓形，当过点P的弦垂直于OP时，弦与其所对的劣弧组成的弓形面积最小，那么最小弓形面积是多少？

Question

如图，P是半径为4cm的圆内一点，OP=2cm，过点P的弦与圆弧组成弓形，当过点P的弦垂直于OP时，弦与其所对的劣弧组成的弓形面积最小，那么最小弓形面积是多少？

Answer 1

连接OA、OB．
∵OP⊥AB，且OP=2，OA=4，
∴∠A=30°，∠AOP=60°，∠AOB=120°；
由勾股定理得：PA²=OA²-OP²，
∴PA=2√(3)，AB=2AP=4√(3)；
设扇形AOB、△OAB的面积分别为α、β；
则α=(120π×42)/(360)=(16π)/(3)，β=(1)/(2)AB•OP=(1)/(2)×4√(3)×2=4√(3)，
∴最小弓形面积=α-β=(16π)/(3)-4√(3)（cm²）．