（2014•通城县模拟）如图，⊙O的半径为2，弦BC=23，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：①∠A始终为60°；②当∠ABC=45°时，AE=EF；③当△A

Question

（2014•通城县模拟）如图，⊙O的半径为2，弦BC=2√(3)，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60°；
②当∠ABC=45°时，AE=EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED=√(3)；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是______．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

①延长CO交⊙O于点G，如图1．
则有∠BGC=∠BAC．
∵CG为⊙O的直径，∴∠CBG=90°．
∴sin∠BGC=(BC)/(CG)=(2√(3))/(4)=(√(3))/(2)．
∴∠BGC=60°．
∴∠BAC=60°．
故①正确．
②如图2，
∵∠ABC=45°，CE⊥AB，即∠BEC=90°，
∴∠ECB=45°=∠EBC．
∴EB=EC．
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=90°．
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°．
∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．
在△BEF和△CEA中，

∠FBE＝∠ACE

BE＝CE

∠BEF＝∠CEA＝90°

．
∴△BEF≌△CEA．
∴AE=EF．
故②正确．
③如图2，
∵∠AEC=∠ADB=90°，∠A=∠A，
∴△AEC∽△ADB．
∴(AE)/(AD)=(AC)/(AB)．
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB．
∴(ED)/(BC)=(AE)/(AC)．
∵cosA=(AE)/(AC)=cos60°=(1)/(2)，
∴(ED)/(BC)=(1)/(2)．
∴ED=(1)/(2)BC=

作业帮用户 2017-11-12

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