如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=22．（1）求证PO⊥AC；（2）求二面角P-AC-E的平面角的余弦值．

Question

如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2√(2)．

（1）求证PO⊥AC；
（2）求二面角P-AC-E的平面角的余弦值．

Answer 1

证明：（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，
又AC⊂底面圆O，
∴PO⊥AC．
（2）取AC中点为D，连接PD、OD，又圆锥母线PA=PC，∴PD⊥AC
∵底面圆O上OA=OC∴OD⊥AC
又E为劣弧CB的中点即有E∈底面圆O
∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO
∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC=90°
又直径AB=2√(2)∴OD=(1)/(2)AC=1
∵PO⊥底面圆O  且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD
又PO=√(2)，∴Rt△POD中，PD=√(3)．
∴cos∠PDO=(OD)/(PD)=(√(3))/(3)即为所求．