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如图,点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点,C是劣弧BD的中点,AC交BD于点E,AE=2,EC=1.(1)求证:△DEC∽△ADC;(2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予证明并求出它的面积;
题目详情
如图,点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点,C是劣弧BD的中点,AC交BD于点E,AE=2,EC=1
.
(1)求证:△DEC∽△ADC;
(2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予证明并求出它的面积;若不是,请说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fd039245d688d43f82f363717e1ed21b0ff43bde.jpg)
(1)求证:△DEC∽△ADC;
(2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予证明并求出它的面积;若不是,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵C为劣弧BD的中点,
∴
=
,
∴∠DAC=∠BAC,
又∠DAC和∠BDC对的弧都为
,
∴∠DAC=∠BDC.
∴∠BAC=∠BDC,又∠DCA=∠DCA,
∴△DEC∽△ADC.
(2)由(1)知,△DEC∽△ADC,
∴EC:DC=DC:AC.
∴DC2=3,DC=
=BC.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△BCE中,CE=1,BC=
,
∴BE=2,
∴∠CBE=30°,
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∴劣弧BD的度数为2×2×30°=120°,劣弧AD的度数为60°.
即∠DCA=30°=∠CAB.
∴CD∥AB,且CD≠AB.
∴四边形ABCD是上底为DC,下底为AB,高为直角三角形斜边AB边上的高的梯形.
∵AC=AE+EC=3,BC=
,根据勾股定理得AB=2
,则∠CAB=30°,
∴直角三角形斜边AB边上的高为
,
∴S梯形ABCD=
=
=
.
∴
![]() |
DC |
![]() |
BC |
∴∠DAC=∠BAC,
又∠DAC和∠BDC对的弧都为
![]() |
DC |
∴∠DAC=∠BDC.
∴∠BAC=∠BDC,又∠DCA=∠DCA,
∴△DEC∽△ADC.
(2)由(1)知,△DEC∽△ADC,
∴EC:DC=DC:AC.
∴DC2=3,DC=
3 |
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△BCE中,CE=1,BC=
3 |
∴BE=2,
∴∠CBE=30°,
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∴劣弧BD的度数为2×2×30°=120°,劣弧AD的度数为60°.
即∠DCA=30°=∠CAB.
∴CD∥AB,且CD≠AB.
∴四边形ABCD是上底为DC,下底为AB,高为直角三角形斜边AB边上的高的梯形.
∵AC=AE+EC=3,BC=
3 |
3 |
∴直角三角形斜边AB边上的高为
3 |
2 |
∴S梯形ABCD=
(DC+AB)h |
2 |
(
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2 |
9
| ||
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