在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c=2,且cosA/cosB=b/a=√3/1(1)求证：△ABC是直角三角形（2）设圆O过A,B,C三点,点P位于劣弧AC上,∠PAB=α,用α的三角函数表示三角形△PAC的面积,并求△PAC

Question

在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c=2,且cosA/cosB=b/a=√3/1 (1)求证：△ABC是直角三角形 （2）设圆O过A,B,C三点,点P位于劣弧AC上,∠PAB=α,用α的三角函数表示三角形△PAC的面积,并求△PAC面积最大值

Answer 1

由cosA/cosB=b/a=√3/1 得b=√3a,cosA=√3cosB
又a/sinA=b/sinB=√3a/sinB,所以sinB=√3sinA
所以√3sinA·cosA=sinB·√3cosB,所以2sinAcosA=2sinBcosB即sin（2A)=sin(2B)
所以2A=k∏-2B,k为奇数.或2A=2B+2k∏,所以A+B=k∏/2,因A,B是三角形的内角所以k=1即A+B=∏/2,
所以A+B为90度,故此三角形为直角三角形且A=30度,B=60度,C=90度,a=1,b=√3,c=2
（2）在三角形ABP中AP=ABcosα=2cosα,在三角形PAC中其面积=1/2·AC·APsin（α-A),
所以面积S=√3cosα·sin（α-A)=√3cosα·(sinαcosA-cosαsinA)=√3cosα·（√3/2·sinα-1/2·cosα）=3/4·sin（2α）-√3/4·[1+cos(2α)]=-√3/4+√3/2·[√3/2·sin（2α）-1/2·cos（2α）]=-√3/4+√3/2·sin（2α-A）,故当取得最大值时sin（2α-A）=1,所以2α-A为90度,所以α为60度,此时面积最大为√3/4
补充：（2）中也可以直接在画图在图上看比较明显,P在弧AC上,要去面积最大而此时的底都是AC所以高最大即是,也就是当P是AC的中点是P到AC的距离是最长的,即取得高的最大值