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已知椭圆长轴长A1A2=6,焦距F1F2=4根号2,过椭圆焦点F1作一条直线,交椭圆于两点M、N,设MN的倾斜角为a,当a取什么值时,MN等于椭圆短轴长?
题目详情
已知椭圆长轴长A1A2=6,焦距F1F2=4根号2,过椭圆焦点F1作一条直线,交椭圆于两点M、N,设MN的倾斜角为a,当a取什么值时,MN等于椭圆短轴长?
▼优质解答
答案和解析
以椭圆中心为原点,F1、F2所在直线为x轴建立直角坐标系.
则椭圆方程为:x^2/9+y^2=1 (1)
a=3,b=1,c=2√2,左焦点F1(-2√2,0)
设MN的方程为:y=k(x+2√2) (2)
由(1)(2)得
(9k^2+1)^2*x^2+36√2k^2*x+72k^2-9=0
△=36^2*2k^4-4(9k^2+1)(72k^2-9)=36(k^2+1)
∴弦长|MN|=√(1+k^2)*√△/|A|=6(k^2+1)/(9k^2+1)=2
∴k^2=1/3,即k=±√3/3,即tana=±√3/3
∴当a=∏/6或a=5∏/6时,|MN|等于短轴之长.
则椭圆方程为:x^2/9+y^2=1 (1)
a=3,b=1,c=2√2,左焦点F1(-2√2,0)
设MN的方程为:y=k(x+2√2) (2)
由(1)(2)得
(9k^2+1)^2*x^2+36√2k^2*x+72k^2-9=0
△=36^2*2k^4-4(9k^2+1)(72k^2-9)=36(k^2+1)
∴弦长|MN|=√(1+k^2)*√△/|A|=6(k^2+1)/(9k^2+1)=2
∴k^2=1/3,即k=±√3/3,即tana=±√3/3
∴当a=∏/6或a=5∏/6时,|MN|等于短轴之长.
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