如图，▱ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切（1）求证：弧AB=弧AC（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E=1213，求tan∠D的值

Question

如图，▱ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切
（1）求证：弧AB=弧AC
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E=(12)/(13)，求tan∠D的值

Answer 1

（1）证明：连接OA交BC于F．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠CFO，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
∴∠OFC=90°，
∴OF⊥BC，
∴OA平分

BC

，
即

AB

=

AC

．

（2） 如图2中，作BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，连接AC．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC=∠BCE，
∴

EB

=

CA

，
∵

BA

=

AC

，
∴

EB

=

CA

=

BA

，
∴BE=AB=AC，

EA

=

CB

，
∴∠E=∠ACE，
在Rt△BEM中，sin∠E=(12)/(13)，设BE=13m，则BM=12m，EM=5m，
在Rt△ANC中，sin∠ACN=sin∠E=(12)/(13)，AC=EB=13m，则CN=5m，
∵BM=CN，BM∥CN，
∴四边形BMNA是平行四边形，
∴MN=AB=EB=13m，
∴CM=18m，
∴tan∠BCE=(BM)/(CM)=(12m)/(18m)=(2)/(3)，
∴tan∠D=(2)/(3)．