如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为．

Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为___．

Answer 1

如图，连接OE、OF，
∵由切线的性质可得OE=OF= O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面积可知(1)/(2)×AC×BC=(1)/(2)×AC×OE+(1)/(2)×BC×OF，
∴OE=OF=(1)/(2)×2a=EC=CF，BF=BC-CF=a，GH=2OE=2a，
∵由切割线定理可得BF²=BH•BG，
∴a²=BH（BH+2a），
∴BH=（-1+√(2)）a或BH=（-1-√(2)）a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴(OE)/(OH)=(BD)/(BH)，
∴BH=BD，CD=BC+BD=2a+（-1+√(2)）a=（1+√(2)）a，
故答案为：（1+√(2)）a．