若一条直线同时和两个曲线相切我们称此直线为两曲线的公切线，已知f（x）=x2，g（x）=-x2+2x+a（1）若f（x）与g（x）只有一条公切线，求实数a值；（2）若f（x）与g（x）有两条公切线，求实

Question

若一条直线同时和两个曲线相切我们称此直线为两曲线的公切线，已知f（x）=x²，g（x）=-x²+2x+a
（1）若f（x）与g（x）只有一条公切线，求实数a值；
（2）若f（x）与g（x）有两条公切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

f（x）=x²的导数为f′（x）=2x，
g（x）=-x²+2x+a的导数为g′（x）=-2x+2，
设f（x）=x²上切点（x₀，x₀²），
可得切线方程为y=2x₀（x-x₀）+x₀²，即y=2x₀x-x₀²，
同理设g（x）=-x²+2x+a上切点（x₁，-x₁²+2x₁+a），
则切线方程为y=（-2x₁+2）（x-x₁）-x₁²+2x₁+a，
即y=（2-2x₁）x+a+x₁²，
两函数有公切线，即令上述两切线方程相同，
则有2x₀=2-2x₁，且-x₀²=a+x₁²，
消去x₁，化为a=-2（x₀-(1)/(2)）²-(1)/(2)，
令h（x₀）=-2（x₀-(1)/(2)）²-(1)/(2)，
可得x₀=(1)/(2)时，h（x₀）取得最大值-(1)/(2)，
（1）若f（x）与g（x）只有一条公切线，
即有关于x₀的方程有且只有两个相等的实根，
可得a=-(1)/(2)；
（2）若满足存在两条不同公切线，
只需关于x₀的方程a=-2（x₀-(1)/(2)）²-(1)/(2)有两个不等的实根，
可得a<-(1)/(2)．