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直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,求a的值及切点坐标.

题目详情
直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,求a的值及切点坐标.
▼优质解答
答案和解析
设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),则y=x3-x2+1的导数y′=3x2-2x.
由题意知直线l的斜率k=1,即3x02-2x0=1,解得x0=-
1
3
或x0=1.
因此,切点的坐标为(-
1
3
23
27
),或(1,1).
当切点为(-
1
3
23
27
)时,有
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=-
1
3
+a,∴a=
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27

当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去).
所以a的值为
32
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,切点坐标为(-
1
3
23
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).