椭球面S1是椭圆x24+y23＝1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点（4，0）且与椭圆x24+y23＝1相切的直线绕x轴旋转而成．（Ⅰ）求S1及S2的方程（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积．

Question

椭球面S₁是椭圆(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1绕x轴旋转而成，圆锥面S₂是过点（4，0）且与椭圆(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1相切的直线绕x轴旋转而成．
（Ⅰ）求S₁及S₂的方程
（Ⅱ）求S₁与S₂之间的立体体积．

Answer 1

（I）S₁的方程为：(x2)/(4)+(y2+z2)/(3)＝1．
设过点（4，0）且与椭圆(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1相切的直线L为：y=k（x-4），
与椭圆方程联立，可得 （4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．
由判别式△=0 可得  k²=(1)/(4)，故 k=±(1)/(2)．
所以直线L的方程为：y=±((1)/(2)x−2)．
所以S₂的方程为 y2+z2＝((1)/(2)x−2)2．
（II）记L₁：y=(1)/(2)x-2，注意到椭圆方程(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1，记 y₂=√(3(1−(x2)/(4)))．
由旋转体的体积计算公式可得，S₁与S₂之间的立体体积为
V=

∫

4 1

 π

y

2 1

 dx-

∫

2 1

π 

y

2 2

 dx 
=

π ∫

4 1

((1)/(2)x−2)2dx-3π

∫

2 1

(1 − (x2)/(4)) dx 
=(2π)/(3)((1)/(2)x−2)3

|

4 1

-3π(x − (x3)/(12))

|

2 1

 
=(9π)/(4)-(5π)/(4) 
=π．