如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．（1）求证：∠PAC=∠B；（2）若BC=6，⊙O半径为5，求PA的长．

Question

如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．

（1）求证：∠PAC=∠B；
（2）若BC=6，⊙O半径为5，求PA的长．

Answer 1

（1）证明：∵PA为圆O的切线，且AB为直径，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B；
（2） 在Rt△ACB中，根据勾股定理得：AC=√(AB2-BC2)=8，
由（1）得：∠PAC=∠B，
∵OP⊥AC，∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC，
∴PA：AB=AD：BC，
∵AC⊥OD，
∴AD=CD=4，
∴PA=(AB•AD)/(BC)=(10×4)/(6)=(20)/(3)．