如图，DC是O的直径，点B在圆上，直线AB交CD延长线于点A，且∠ABD=∠C．（1）求证：AB是O的切线；（2）若AB=4cm，AD=2cm，求tanA的值和DB的长．

Question

如图，DC是 O的直径，点B在圆上，直线AB交CD延长线于点A，且∠ABD=∠C．

（1）求证：AB是 O的切线；
（2）若AB=4cm，AD=2cm，求tanA的值和DB的长．

Answer 1

（1）证明：连结OB，如图所示：
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵DC是 O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠CDB+∠C=90°，
∵∠ABD=∠C，
∴∠OBD+∠ABD=90°，
即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是 O的切线；
（2） 设半径为r，则OA=x+2，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：x²+4²=（x+2）²，
解得：r=3，
∴tanA=(OB)/(AB)=(3)/(4)，
∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，
∴△ADB∽△ACB，
∴(DB)/(BC)=(AD)/(AB)=(2)/(4)=(1)/(2)，
设DB=x，则BC=2x，
∵CD=6，
∴由勾股定理得：x²+（2x）²=6²，
解得：x=(6)/(5)√(5)，
即DB的长为(6)/(5)√(5)．