已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D

Question

已知抛物线y=ax ² +2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax ² +2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），
∴ ，解得a=-1，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x ² +2x+3． 
 （2）对称轴为x= =1， 令y=-x ² +2x+3=0，解得x ₁ =3，x ₂ =-1，
∴C（-1，0）．
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）
可得： ，解得k=-1，b=3，
∴直线AB解析式为y=-x+3． 当x=1时，y=2，
∴D点坐标为（1，2）．  
（3）结论：存在．
如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点， 过点P作PN⊥x轴于点N，
则ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x．
S _△ABP =S _梯形PNOB +S _△PNA -S _△AOB
= （OB+PN）ON+ PN×AN- OA×OB
= （3+y）x+ y（3-x）- ×3×3
= （x+y）- ，
∵P（x，y）在抛物线上，
∴y=-x ² +2x+3，
代入上式得： S _△ABP = （x+y）- =- （x ² -3x）=- （x- ） ² + ，
 ∴当x= 时，S _△ABP 取得最大值．
当x= 时，y=-x ² +2x+3= ，
∴P（ ， ）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；
P点的坐标为（ ， ）．