在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的第一象限部分上求一点p,使该点处的切线,椭圆及两坐标所围成的面积最小,解设0

Question

在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的第一象限部分上求一点p,使该点处的切线,椭圆及两坐标所围成的面积最小,
解设0

Answer 1

由于椭圆面积一定,所以问题就等价于求P,使过P点的切线与两坐标轴所围三角形的面积为最小
设点P坐标为(x,y),x>0,y>0,则过P点的切线方程为:(x/a^2)X+(y/b^2)Y=1,
即 X/(a^2/x)+Y/(b^2/y)=1,
他在两坐标轴上截距分别为 A=a^2/x,B=b^2/y.
三角形面积S=A*B/2=（a^2)*(b^2）/(x*y).
由　x^2/a^2+y^2/b^2=1,可得　y^2=(b/a)^2*(a^2-x^2).
所以求S的最小值,等价于求x*y的最大值,
又等价于求(x^2)*(y^2)的最大值,即f(x)=x^2*(a^2-x^2)的最大值.
【注：最简单方法】利用参数方程,设P=(acost,bsint),
则过P点的切线方程为X(cost)/a+Y(sint)/b=1,
他在两坐标轴上截距分别为 A=a/cost,B=b/sint.
三角形面积S=A*B/2=（a*b）/(2cost*sint)=(a*b)/sin2t.
当t=π/4时,即P=((√2/2)*a,(√2/2)*b)时,三角形面积S有最小值a*b