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(2011•济宁)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM与于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.(1)求证:OD∥BE;(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.
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(2011•济宁)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM与于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.
(1)求证:OD∥BE;
(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.
(1)求证:OD∥BE;
(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OE,
∵AM、DE是⊙O的切线,
∴DA=DE,∠OAD=∠OED=90°,
又∵OD=OD,
在△AOD和△EOD中,
,
∴△AOD≌△EOD,
∴∠AOD=∠EOD=
∠AOE,
∵∠ABE=
∠AOE,
∴∠AOD=∠ABE,
∴OD∥BE;
(2)OF=
CD.
理由:连接OC,
∵BC、CE是⊙O的切线,
∴∠OCB=∠OCF,
∵AM∥BN,
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°,
由(1)得∠ADO=∠EDO,
∴2∠EDO+2∠OCE=180°,
即∠EDO+∠OCE=90°,
在Rt△DOC中,
∵F是DC的中点,
∴OF=
CD.
∵AM、DE是⊙O的切线,
∴DA=DE,∠OAD=∠OED=90°,
又∵OD=OD,
在△AOD和△EOD中,
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∴△AOD≌△EOD,
∴∠AOD=∠EOD=
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∵∠ABE=
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∴∠AOD=∠ABE,
∴OD∥BE;
(2)OF=
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理由:连接OC,
∵BC、CE是⊙O的切线,
∴∠OCB=∠OCF,
∵AM∥BN,
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°,
由(1)得∠ADO=∠EDO,
∴2∠EDO+2∠OCE=180°,
即∠EDO+∠OCE=90°,
在Rt△DOC中,
∵F是DC的中点,
∴OF=
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