若函数f（x）=（x-2）（x2+c）有极值0，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为．

Question

若函数f（x）=（x-2）（x²+c）有极值0，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为___．

Answer 1

∵函数f（x）=（x-2）（x²+c）有极值0，
先求出零点x₀，有f′（x₀）=0；
①当c>0时，函数无极值，不满足题意；
②当c=0时，f（x）=x²（x-2），在x=0处有极值0，此时在x=1处切线斜率为f′（1）=-1；
③当c<0时，零点有x₀=2，±√(-c)，代入f′（x₀）=0，
得到c=-4满足题意，此时f（x）=（x-2）（x²-4），在x=2处取得极值0，
f（x）在x=1处切线斜率为f′（1）=-5；
故答案为：-1或-5．