在第一象限内，求曲线y=-x2+1上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的面积最小．

Question

在第一象限内，求曲线y=-x²+1上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的面积最小．

Answer 1

设切点P（t，-t²+1）（t>0）
由y=-x²+2得y'=-2x，
∴k_l=-2t，
∴l的方程为：y-（-t²+1）=-2t（x-t）
令y=0，得x=(t2+1)/(2t)，令x=0，得y=t²+1，
∴S（t）=(1)/(2)×(t2+1)/(2t)×（t²+1）-

∫

1 0

（-x²+1）dx=(1)/(4)（t³+2t+(1)/(t)）-(2)/(3)
∴S′（t）=((t2+1)(3t2-1))/(4t2)，
∴0<t<(√(3))/(3)，S′（t）<0，函数单调递减，t>(√(3))/(3)，S′（t）>0，函数单调递增，
∴t=(√(3))/(3)，S（t）取得最小值，
∴（(√(3))/(3)，(2)/(3)）为所求点．