如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；

Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D 

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．

Answer 1

（1）连接CE，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，
∴∠CEO=45°，
∵DE∥CF，
∴∠ECD=∠FEC=45°，
∴∠EOC=90°，
∴EF∥OD，
∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）过G作GN⊥BC于N，
∴△GMB是等腰直角三角形，
∴MB=GM，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴∠FCD=∠FED，
∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，
∴∠CGM=∠ACD，
∴∠CGM=∠DEF，
∵tan∠DEF=2，
∴tan∠CGM=(CM)/(GM)=2，
∴CM=2GM，
∴CM+BM=2GM+GM=3，
∴GM=1，
∴BG=√(2)GM=√(2)．