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如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.(1)求证:AD是半圆O的切线;(2)连结CD,求证:∠A=2∠CDE;(3)若∠CDE=27°,OB=2,求BD的长.
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如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.
(1)求证:AD是半圆O的切线;
(2)连结CD,求证:∠A=2∠CDE;
(3)若∠CDE=27°,OB=2,求
的长.
(1)求证:AD是半圆O的切线;
(2)连结CD,求证:∠A=2∠CDE;
(3)若∠CDE=27°,OB=2,求
BD |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OD,BD,
∵AB是 O的直径,
∴AB⊥BC,即∠ABO=90°,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵OB=OD,
∴∠DBO=∠BDO,
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO,
∴∠ADO=∠ABO=90°,
∴AD是半圆O的切线;
(2)证明:由(1)知,∠ADO=∠ABO=90°,
∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD,
∵AD是半圆O的切线,
∴∠ODE=90°,
∴∠ODC+∠CDE=90°,
∵BC是 O的直径,
∴∠ODC+∠BDO=90°,
∴∠BDO=∠CDE,
∵∠BDO=∠OBD,
∴∠DOC=2∠BDO,
∴∠DOC=2∠CDE,
∴∠A=∠CDE;
(3) ∵∠CDE=27°,
∴∠DOC=2∠CDE=54°,
∴∠BOD=180°-54°=126°,
∵OB=2,
∴
的长=
=
π.
∵AB是 O的直径,
∴AB⊥BC,即∠ABO=90°,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵OB=OD,
∴∠DBO=∠BDO,
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO,
∴∠ADO=∠ABO=90°,
∴AD是半圆O的切线;
(2)证明:由(1)知,∠ADO=∠ABO=90°,
∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD,
∵AD是半圆O的切线,
∴∠ODE=90°,
∴∠ODC+∠CDE=90°,
∵BC是 O的直径,
∴∠ODC+∠BDO=90°,
∴∠BDO=∠CDE,
∵∠BDO=∠OBD,
∴∠DOC=2∠BDO,
∴∠DOC=2∠CDE,
∴∠A=∠CDE;
(3) ∵∠CDE=27°,
∴∠DOC=2∠CDE=54°,
∴∠BOD=180°-54°=126°,
∵OB=2,
∴
BD |
126•π×2 |
180 |
7 |
5 |
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