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(1)在同一个圆中,两条弦相交,被交点分成的两条线段的积有什么关系?请利用左图试着证明.(2)利用(1)的结论,解决右图问题:AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10,PA=4,OP=5,求⊙O
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(1)在同一个圆中,两条弦相交,被交点分成的两条线段的积有什么关系?请利用左图试着证明.
(2)利用(1)的结论,解决右图问题:AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10,PA=4,OP=5,求⊙O的半径R.
(2)利用(1)的结论,解决右图问题:AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10,PA=4,OP=5,求⊙O的半径R.
▼优质解答
答案和解析
(1)圆的两条弦相交,这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.
已知,如图,⊙O的两弦AB、CD相交于E,
求证:AE•BE=CE•DE.
证明如下:
连AC,BD,如图,
∵∠C=∠B,∠A=∠D,
∴△AEC∽△DEB,
∴AE:DE=CE:BE,
∴AE•BE=CE•DE;
所以两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.
(2)过P作直径CD,如图,
∵AB=10,PA=4,OP=5,
∴PB=10-4=6,PC=OC-OP=R-5,PD=OD+OP=R+5,
由(1)中结论得,PA•PB=PC•PD,
∴4×6=(R-5)×(R+5),
解得R=7(R=-7舍去).
所以⊙O的半径R=7.
已知,如图,⊙O的两弦AB、CD相交于E,
求证:AE•BE=CE•DE.
证明如下:
连AC,BD,如图,
∵∠C=∠B,∠A=∠D,
∴△AEC∽△DEB,
∴AE:DE=CE:BE,
∴AE•BE=CE•DE;
所以两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.
(2)过P作直径CD,如图,
∵AB=10,PA=4,OP=5,
∴PB=10-4=6,PC=OC-OP=R-5,PD=OD+OP=R+5,
由(1)中结论得,PA•PB=PC•PD,
∴4×6=(R-5)×(R+5),
解得R=7(R=-7舍去).
所以⊙O的半径R=7.
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