AD为圆O直径,AB为圆O切线,AB=2,过B点作圆O割线BMN交AD延长线于C点,且BM=MN=NC,求圆O的半径

Question

AD为圆O直径,AB为圆O切线,AB=2,过B点作圆O割线BMN交AD延长线于C点,且BM=MN=NC,求圆O的半径

Answer 1

连接AM、AN、MD
因为AD是圆O的直径,所以∠AMD=90°
所以∠MAD+∠MDA=90°
因为AB为圆O切线
所以∠BAM＋∠MAD=90°
所以∠BAM=∠MDA=∠BNA
因为∠B公用
所以△BAM∽△BNA
所以AB:BN=BM:AB
BM×BN=AB²
因为BM=MN=NC,AB=2
所以2BM²=4
BM=根号2
所以BC=3倍根号2
由勾股定理AC=根号14
再连接DN
△DCN∽△MCA
所以DC:MC=NC:AC
DC=MC×CN/AC
=2倍根号2×根号2/根号14
=2倍根号14/7
所以AD=AC-DC=根号14-2倍根号14/7
圆O的半径等于5倍根号14/14