如图，BC是半圆O的直径，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5，tan．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）求AB的长．

Question

如图，BC是半圆O的直径，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5，tan．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求AB的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC为直径
∴∠BDC=∠CDE=90°
∵tan∠DCE=，DC=5x
∵EC=3
∴ED²+DC²=EC²∴（2x）²+（5x）²=9
∴x=∴
∵tan∠DBC===tan∠DCE
∴∠DBC=∠DCE
∴∠DCE+∠DCB=∠DBC+∠DCB=90°
∴EC为切线．

（2）连AC交BD于F
由（1）得，AD=DC=，BC=
∵△ADF∽△BCF
∴=
设DF=2x，则CF=3x
∵CF²-DF²=CD²
∴9x-4x=5
∴x=1
∴DF=2，CF=3
∴BF=
∵AF=
∴AB==．