如图，设F是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，MN为椭圆的长轴，|MN|=8，焦距为2c，对于点P（−a2c，0）有|PM|=2|MF|（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求证：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．

Question

如图，设F是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，MN为椭圆的长轴，|MN|=8，焦距为2c，对于点P（−(a2)/(c)，0）有|PM|=2|MF|
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．

Answer 1

（Ⅰ）（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴(a2)/(c)-a=2（a-c）
∴a²-ac=2ac-2c²，
∴2e²-3e+1=0，
解得e=(1)/(2)或e=1（舍去）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴椭圆的标准方程为(x2)/(16)+(y2)/(12)=1．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．
当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得
（3m²+4）y²-48my+144=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2＝(48m)/(3m2+4)，y1y2＝(144)/(3m2+4)，
∴k_AF+k_BF=(y1)/(x1+2)+(y2)/(x2+2)＝(y1)/(my1−6)+(y2)/(my2−6)=(2my1y2−6(y1+y2))/((my1−6)(my2−6))=((288m)/(3m2+4)−(288m)/(3m2+4))/((my1−6)(my2−6))=0
∴k_AF+k_BF=0，从而∠AFM=∠BFN  综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．