如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连AD并延长交⊙O于E，已知：BE2=DE•EA．求证：（1）PA=PD．（2）2BP2=AD•DE．

Question

如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连AD并延长交⊙O于E，已知：BE²=DE•EA．求证：
（1）PA=PD．
（2）2BP²=AD•DE．

Answer 1

证明：（1）
连接AB，
∵BE²=DE•EA，
∴

（2）证明：∵PA=PD，PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，
∴由切割弦定理得：PA²=PB×PC=PD²，
∵D为PC中点，
∴PD=DC，
∴PD²=PB×2PD，
∴PD=2PB，DC=PD=2PB，
∵PD=PB+BD，
∴BD=PB，
由相交弦定理得：AD×DE=BD×DC，
∴AD×DE=PB×2PB，
即2PB²=AD×DE．