已知三棱锥P-ABC中PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，（1）求该三棱锥的外接球体积；（2）求内切球的体积．

Question

已知三棱锥P-ABC中PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，
（1）求该三棱锥的外接球体积；
（2）求内切球的体积．

Answer 1

考点：
球的体积和表面积
专题：
综合题 空间位置关系与距离
分析：
（1）求出△ABC的外接圆的半径，利用勾股定理，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积；（2）利用等体积，求出内切球的半径，即可求内切球的体积．

（1）设△ABC的外接圆的半径为r，则∵∠BAC=120°，AB=AC=2，∴BC=4+4-2×2×2×(-12)=23由正弦定理可得2r=23sin120°=4，设三棱锥的外接球的半径为R，则（2R）2=16+4，∴R=5，∴该三棱锥的外接球体积为43π?(5)3=2053π；（2）设内切球的半径为m，则∵S侧=2×12×2×2+12×2×2×32+12×23×8-3=4+3+15，∴由等体积可得13×12×2×2×32×2=13（4+3+15）m，∴m=34+3+15∴体积为43π?（34+3+15）3．
点评：
本题考查球的体积和表面积，考查学生的计算能力，确定半径是关键．