如图，已知直线l经过点D（-1，4），与x轴的负半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且直角△AOB的内切圆的面积为π，求直线l对应的一次函数的表达式．

Question

如图，已知直线l经过点D（-1，4），与x轴的负半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且直角△AOB的内切圆的面积为π，求直线l对应的一次函数的表达式．

Answer 1

设直角△AOB的内切圆⊙M与OA、OB、AB分别切于点G、E、F，则∠MGO=∠MFB=∠OEM=90°．
∵⊙M的面积为π，
∴π×ME²=π，
∴ME=1．
∵∠MGO=∠GOE=∠OEM=90°，MG=ME，
∴四边形OGME是正方形，
∴OG=1，点G的坐标为（-1，0）．
延长GM交AB于N，则NG⊥OA，
∴N点横坐标与G点横坐标相同，是-1，
又∵直线AB经过点D（-1，4），
∴点N与点D重合．
∴MN=NG-MG=4-1=3．
在RT△MNF中，MN=3，MF=1，
由勾股定理，可知FN=2√(2)．
∴sin∠FNM=(1)/(3)，tan∠FNM=(1)/(2√(2))=(√(2))/(4)．
过点F作FP⊥OB于P，交GN于H，则FP=FH+HP=FH+ME=FH+1，HG=HM+MG=HM+1．
在Rt△HNF中，∠FHN=90°，FN=2√(2)，sin∠FNH=(1)/(3)，
∴FH=FN•sin∠FNH=(2√(2))/(3)，
∴FP=(2√(2))/(3)+1=(2√(2)+3)/(3)；
在RT△MHF中，∠FHN=90°，FH=(2√(2))/(3)，tan∠MFH=tan∠FNM=(√(2))/(4)，
∴HM=FH•tan∠MFH=(2√(2))/(3)×(√(2))/(4)=(1)/(3)，
∴HG=(1)/(3)+1=(4)/(3)，
∴点F的坐标为（-(2√(2)+3)/(3)，(4)/(3)）．
设直线l的解析式为y=kx+b．
∵直线l经过点D（-1，4），点F（-(2√(2)+3)/(3)，(4)/(3)），
∴

−k+b＝4

−(2√(2)+3)/(3)k+b＝(4)/(3)

，
解得

k＝2√(2)

b＝4+2√(2)

．
故所求直线l的解析式为y=2√(2)x+4+2√(2)．