圆锥的内切球,半径为R,求圆锥的最小体积

Question

圆锥的内切球,半径为R,求圆锥的最小体积

Answer 1

我不会往百度上传图片，所以有关图形的我给你描述一下吧(你根据我的描述把图画出来吧)，希望能描述清楚。 这个问题实际上从侧面观察，投影到一个平面上就是一个等腰三角形的内切圆问题。 设等腰三角形为ABC，底为BC，即圆锥的底面圆直径，设圆在腰上的切点分别为D(在AB上)、E，在底边BC上的切点为F， 然后过A点做AG垂直于BC，垂足为G，易知圆心O在AG上， 连接OD，由内切圆我们知道OD垂直于AB，切OD=OG=R 设角BAC=2θ，所以角BAG=θ,所以θ范围为(0,90) 在直角三角形AOD中，角DAO=θ，OD=R，则OA=R/sinθ 所以,在三角形ABC中，高AG=R+R/sinθ(也就是圆锥的高) 在直角三角形AGB中，BAG=θ，所以BG=AG*tanθ=(R+R/sinθ)*tanθ 然后我们再回到圆锥中，圆锥的底面半径就是BG，设为r,所以r=(R+R/sinθ)*tanθ,圆锥的高为AG，设为h,所以h=R+R/sinθ, 圆锥的体积为 V=1/3*π*r^2*h =1/3π*(R+R/sinθ)^3*(tanθ)^2 求最值问题用求导数的方法。 令f(我不会往百度上传图片，所以有关图形的我给你描述一下吧(你根据我的描述把图画出来吧)，希望能描述清楚。 这个问题实际上从侧面观察，投影到一个平面上就是一个等腰三角形的内切圆问题。 设等腰三角形为ABC，底为BC，即圆锥的底面圆直径，设圆在腰上的切点分别为D(在AB上)、E，在底边BC上的切点为F， 然后过A点做AG垂直于BC，垂足为G，易知圆心O在AG上， 连接OD，由内切圆我们知道OD垂直于AB，切OD=OG=R 设角BAC=2θ，所以角BAG=θ,所以θ范围为(0,90) 在直角三角形AOD中，角DAO=θ，OD=R，则OA=R/sinθ 所以,在三角形ABC中，高AG=R+R/sinθ(也就是圆锥的高) 在直角三角形AGB中，BAG=θ，所以BG=AG*tanθ=(R+R/sinθ)*tanθ 然后我们再回到圆锥中，圆锥的底面半径就是BG，设为r,所以r=(R+R/sinθ)*tanθ,圆锥的高为AG，设为h,所以h=R+R/sinθ, 圆锥的体积为 V=1/3*π*r^2*h =1/3π*(R+R/sinθ)^3*(tanθ)^2 =1/3π*R^3*(1+1/sinθ)^3*(tanθ)^2 令f(θ)=(1+1/sinθ)^3*(tanθ)^2(求导于常数部分无关，所以只取有未知数的部分) 所以 f'(θ)=3*(1+1/sinθ)^2*(tanθ)^2*[-cosθ/(sinθ)^2]+2*(1+1/sinθ)^3*tanθ*[1+(tanθ)^2] 令f'(θ)=0 化简整理得3*(sinθ)^2+2*sinθ-1=0 求得sinθ=1/3或sinθ=-1(舍去) 因为θ在0到90度之间，所以tanθ=√2/4 代入体积的式子，可知，最小体积为 Vm=1/3*π*R^3*(1+3)^3*(1/8) =8/3*π*R^3