一道数学题,关于双曲线和内切圆P是双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1左支上的一点,F1F2分别是左右两焦点,且焦距为2c,则三角形PF1F2的内切圆的横坐标为什么?

Question

一道数学题,关于双曲线和内切圆
P是双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1 左支上的一点,F1 F2 分别是左右两焦点,且焦距为2c,则三角形PF1F2 的内切圆的横坐标为什么?

Answer 1

设△PF1F2的内切圆的圆心为O
内切圆切PF1于A点,PF2于B点,F1F2于C点
因为是内切圆
所以有OA⊥PF1,OB⊥PF2,OC⊥F1F2,且PA=PB,AF1=F1C,BF2=CF2
因为OC⊥F1F2,即X轴,只要求出C点的横坐标,就等于求出了O点的横坐标.
由双曲线的性质可知
PF1-PF2=-2a
∵PF1=PA+AF1,PF2=PB+BF2,∴PF1-PF2=(PA+AF1)-(PB+BF2)=AF1-BF2=CF1-CF2=-2a,
又∵CF1+CF2=2c,联立可得CF2=c+a,.
∵F2(c,0),∴C(-a,0).
∴O点横坐标就为-a