等边三角形ABC边长是6,点D,E风别在AB,AC上,且AD=AE=2已知△ABC是边长为6的等边三角形,点D、E分别在ABAC上,且AD=AE=2.若点F从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向移动,设点F的运动时间为t

Question

等边三角形ABC边长是6,点D,E风别在AB,AC上,且AD=AE=2
已知△ABC是边长为6的等边三角形,点D、E分别在AB AC上,且AD=AE=2.若点F从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向移动,设点F的运动时间为t秒,当t＞0时,直线FD与过点A且平行于BC的直线交于点G,连接GE交于点G,连结GE交AD于点O,并延长交BC延长线与点H.
1.用t的代数式表示AG
2.设△AGE面积为S,写出S与t的函数解析式
3.当t为何值时,点F和点C是线段BH的三等份点?

Answer 1

：（1）如图2：∵GA//BC,∴ ,
又∵AB=6,AD=2∴ DB=4,由于BF= t ∴
∴AG=
过点E作EK⊥AG,垂足为K.
∵∠BCA=600,
∴∠CAK=600
∴∠AEK=300
∵AE=2,AK=1,EK=
∴S= AG.EK= × t× = t
(2)如图2,连结DE,由AD=DE可知,△ADE为等边三角形.
若AB⊥HG,则AO=OD,∠AEO=∠DEO.
∵GA//DE,∴∠AGE=∠GED,∵∠AGE=∠AEG
∴ AG=AE=2
∵ t=2,∴t=4.即当t=4时,AB⊥GH
（3）∵△GAD ∽△FAB ∴
∵△GAE ∽△HCE ∴ ,∴BF=CH
当点F与点C重合时,BC=FH
当点F在BC边上时,BC=BF+FC=CH+FC=FH
当点F在BC的延长线时,BC=BF-FC=CH-FC=FH
∴BC=FH.
∵△ABC与△GFH的高相等,
∴S△GFH=S△ABC= ×6×3 =9
∴无论t为何值,△GFH的面积均为9 .
（4）BC=FH,BF=CH.
1当点F在线段BC上时,若点F 和点C是线段BH的三等分点,则BF=FC=CH,∵BF=CH,∴BF=FC.
∵BC=6,∴BF=FC=3,
∴当t=3时,点F和点C是线段BH的三等分点.
2如图3,当点F在BC的延长线上时,若点F 和点CA是线段BH的三等分点,则BC-CF=FH.
∵BC=FH,
∴ BC=CF .
∵BC=6
∴CF=6
∴BF=12
∴当t=12时,点F 和点C是线段BH的三等分点.