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(2014•池州二模)已知正四面体ABCD的棱长为4,设正四面体内切球半径为r,外接球半径为R,MN是内切球的一条直径,P在正四面体表面上运动.下列命题正确的是(写出所有正确命题的
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(2014•池州二模)已知正四面体ABCD的棱长为4,设正四面体内切球半径为r,外接球半径为R,MN是内切球的一条直径,P在正四面体表面上运动.下列命题正确的是______(写出所有正确命题的编号).
①AB⊥CD
②从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为
③R=3r
④r=
⑤
•
的最大值为
.
①AB⊥CD
②从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为
4 |
15 |
③R=3r
④r=
| ||
3 |
⑤
PM |
PN |
16 |
3 |
▼优质解答
答案和解析
对于①,正四面体的对角线互相垂直,所以①正确;
对于②,从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为:
=
,所以②不正确;
对于③,设正四面体S-ABCD如图所示
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D,则D为BC的中点,连结SD则内切球切SD于点E,连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH:HD=2:1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴
=
=3,可得OA=30H=S0
因此,SH=4OH,可得内切球的半径OH=
SH,
③正确;
对于④,由③,可得内切球的半径OH=
SH
∵正四面体棱长为4,
∴Rt△SHD中,SD=2
,HD=
SD=
可得SH=
=
,得内切球的半径r=OH=
×
对于②,从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为:
3 | ||
|
1 |
5 |
对于③,设正四面体S-ABCD如图所示
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D,则D为BC的中点,连结SD则内切球切SD于点E,连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH:HD=2:1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴
OA |
OH |
DS |
DH |
因此,SH=4OH,可得内切球的半径OH=
1 |
4 |
③正确;
对于④,由③,可得内切球的半径OH=
1 |
4 |
∵正四面体棱长为4,
∴Rt△SHD中,SD=2
3 |
1 |
3 |
2
| ||
3 |
可得SH=
SD2−HD2 |
4
| ||
3 |
1 |
4 |
4
|
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