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(2014•池州二模)已知正四面体ABCD的棱长为4,设正四面体内切球半径为r,外接球半径为R,MN是内切球的一条直径,P在正四面体表面上运动.下列命题正确的是(写出所有正确命题的

题目详情
(2014•池州二模)已知正四面体ABCD的棱长为4,设正四面体内切球半径为r,外接球半径为R,MN是内切球的一条直径,P在正四面体表面上运动.下列命题正确的是______(写出所有正确命题的编号).
①AB⊥CD
②从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为
4
15

③R=3r
④r=
6
3
   
PM
PN
的最大值为
16
3
▼优质解答
答案和解析
对于①,正四面体的对角线互相垂直,所以①正确;
对于②,从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为:
3
C
2
6
=
1
5
,所以②不正确;
对于③,设正四面体S-ABCD如图所示
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D,则D为BC的中点,连结SD则内切球切SD于点E,连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH:HD=2:1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
OA
OH
=
DS
DH
=3,可得OA=30H=S0
因此,SH=4OH,可得内切球的半径OH=
1
4
SH,
③正确;
对于④,由③,可得内切球的半径OH=
1
4
SH
∵正四面体棱长为4,
∴Rt△SHD中,SD=2
3
,HD=
1
3
SD=
2
3
3

可得SH=
SD2−HD2
=
4
6
3
,得内切球的半径r=OH=
1
4
×
4
作业帮用户 2017-10-31
问题解析
①利用正四面体的性质判断正误即可;
②利用古典概型求出结果判断正误即可;
③设所求正四面体为S-ABCD,可得它的内切球的球心0在高线SH上,延长AH交BC于点D,则D为BC的中点,连结SD则内切球切SD于点E,连结AO.利用正三角形的性质及三角形相似,算出内切球的半径OH=
1
4
SH.判断正误即可;
④利用③的方法求出内切球的半径,判断正误即可;
⑤利用“当点P,M,N三点共线时,取得最大值”,可知当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值,求出即可.
名师点评
本题考点:
命题的真假判断与应用.
考点点评:
本题考查正四面体的内切球与外接球的知识的应用,考查直线与直线的位置关系,古典概型以及内切球与外接球的半径的求法,以及充分理解数量积得性质“当点P,M,N三点共线时,
PM
PN
取得最大值”是解题的关键.
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