1、已知一个正5边形的长度如何知道它外接圆的半径或内径?2、一个圆如何画它的内接正5边形?能解决这两小问题者感谢先,请将具体求法述来.

Question

1、已知一个正5边形的长度如何知道它外接圆的半径或内径?
2、一个圆如何画它的内接正5边形?
能解决这两小问题者感谢先,请将具体求法述来.

Answer 1

正五边形的每个内角是(5－2)×180°\\/5＝108°\r\n连接圆心和一条边的两端,得到一个等腰三角形,其底角为108°\\/2＝54°,顶角为180°－2×54°＝72°\r\n设正五边形的边长为a,外接圆的半径为r,则r＝a\\/(2cos54°)＝a\\/(2sin36°)\r\n下面给出sin36°的求法：\r\n由于sin36°＝sin(180°＝36°)＝sin144°＝2sin72°cos72°\r\n＝4sin36°cos36°[2(cos36°)^2－1]\r\n由此得到 8(cos36°)^3－4cos36°－1＝0\r\n(2cos36°＋1)[4(cos36°)^2－2cos36°－1]＝0\r\n由4(cos36°)^2－2cos36°－1＝0解出\r\ncos36°＝(1＋√5)\\/4,\r\nsin36°＝√[1－(cos36°)^2]＝√(10－2√5)\\/4.\r\n所以r＝a\\/(2sin36°)＝a\\/[2√(10－2√5)\\/4]＝2a\\/√(10－2√5)\r\n＝(√(50＋10√5)a\\/10