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在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0、-根号3)(0,根号3)的距离之和等于4,设点P的轨迹方程为C1...在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0、-根号3)(0,根号3)的距离之和等于4,设点P的轨迹
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在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0、-根号3)(0,根号3)的距离之和等于4,设点P的轨迹方程为C
1 求曲线C的方程
2 且直线y=kx+1与C交于A、B两点,若OA⊥OB,求K的值
在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0、-根号3)(0,根号3)的距离之和等于4,设点P的轨迹方程为C
1 求曲线C的方程
2 且直线y=kx+1与C交于A、B两点,若OA⊥OB,求K的值
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由题意,根据椭圆的定义可知
点P满足椭圆的定义,所以轨迹C是个椭圆,且焦点在Y轴上
焦距为2√3(即2c=2√3,c=√3) 长轴长4(即2a=4,a=2) 从而短轴长2(即2b=2,b=1)
所以轨迹C的方程为 x²+y²/4=1
(Ⅱ)设A(x1,y1) B(x2,y2)
将y=kx+1带入 x²+y²/4=1 中,化简得 (k²+4)x²+2kx-3=0
由韦达定理 可知 x1+x2= - 2k/ (k²+4) x1*x2= -3/ (k²+4)
因为A、B在直线y=kx+1上,满足直线方程,有y1=kx1+1,y2=kx2+1
所以y1*y2=(kx1+1)*(kx2+1)=k²x1x2+k(x1+x2)+1=(4-4k²)/(k²+4)
要想 OA⊥OB 则 x1x2+y1y2=0 (向量垂直,则数量积为零,数量积用坐标表示就是对应坐标乘积之和)
∴-3/ (k²+4)+(4-4k²)/(k²+4)=0 解得 k=±(1/2)
|AB|=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]=(4√65)/17
点P满足椭圆的定义,所以轨迹C是个椭圆,且焦点在Y轴上
焦距为2√3(即2c=2√3,c=√3) 长轴长4(即2a=4,a=2) 从而短轴长2(即2b=2,b=1)
所以轨迹C的方程为 x²+y²/4=1
(Ⅱ)设A(x1,y1) B(x2,y2)
将y=kx+1带入 x²+y²/4=1 中,化简得 (k²+4)x²+2kx-3=0
由韦达定理 可知 x1+x2= - 2k/ (k²+4) x1*x2= -3/ (k²+4)
因为A、B在直线y=kx+1上,满足直线方程,有y1=kx1+1,y2=kx2+1
所以y1*y2=(kx1+1)*(kx2+1)=k²x1x2+k(x1+x2)+1=(4-4k²)/(k²+4)
要想 OA⊥OB 则 x1x2+y1y2=0 (向量垂直,则数量积为零,数量积用坐标表示就是对应坐标乘积之和)
∴-3/ (k²+4)+(4-4k²)/(k²+4)=0 解得 k=±(1/2)
|AB|=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]=(4√65)/17
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