一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，俯视图为一个矩形与它的一条对角线．（1）用斜二测画法画出这个几何体的直观图；（2）求该

Question

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，俯视图为一个矩形与它的一条对角线．

（1）用斜二测画法画出这个几何体的直观图；
（2）求该几何体的表面积；
（3）在几何体直图中，在线段PB上是否得在点M，使得PB⊥平面MAC，若得在，求线段PM的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）视图复原的几何体是底面为 正方形，侧棱垂直底面，是正方体的一部分，几何体的直观图如图1所示；
（2）s_ADP=S_CDP=(1)/(2)×4×4=8，
∵AB⊥面PAD，BC⊥面PDC，∴S_PBC=S_PBA=(1)/(2)×4×4√(2)=8√(2)
∴该几何体的表面积s=8×2+8√(2)×2+16=32+16√(2)．
（3）∵AC⊥DB，AC⊥PD，PD∩DB=D，∴AC⊥面PDB⇒PB⊥AC，
要使PB⊥平面MAC，只需PB⊥AM即可，
∴过A作AM⊥PB与M即可，
在Rt△PAB中，PA•AB=PB•AM⇒4√(2)×4=4√(3)×AM⇒AM=(4√(6))/(3)，
∴PM=√(PA2-AM2)=(8√(3))/(3)