如图，Rt△AB¢C¢是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC¢交斜边于点E，CC¢的延长线交BB¢于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC=，∠CAC¢=，试探索

Question

如图，Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢交斜边于点E，CC ¢的延长线交BB ¢于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC= ，∠CAC ¢ = ，试探索 、 满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC="AC" ¢，AB="AB" ¢，∠CAB="∠C" ¢AB ¢   
∴∠CAC ¢="∠BAB" ¢
∴∠ACC ¢="∠ABB" ¢  
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE     

（2）当 时，△ACE≌△FBE．   
在△ACC¢中，∵AC="AC" ¢，
∴   
在Rt△ABC中，
∠ACC¢+∠BCE=90°，即 ，
∴∠BCE= ．
∵∠ABC= ，
∴∠ABC=∠BCE    
∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．

（1）欲证△ACE∽△FBE，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEC=∠FEB，此时，再证∠ACC′=∠ABB′即可．
（2）欲证△ACE≌△FBE，由（1）知△ACE∽△FBE，只需证明CE=BE，由已知可证∠ABC=∠BCE=α，即证β=2α时，△ACE≌△FBE．