设椭圆x^2/4+y^2/3=1的两焦点分别为F1,F2,若直线l：y=k(x-1)(k不等于0)与椭圆交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上,其中A(-2,0),B(2,0)

Question

设椭圆x^2/4+y^2/3=1的两焦点分别为F1,F2,若直线l：y=k(x-1)(k不等于0)与椭圆交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上,其中A(-2,0),B(2,0)

Answer 1

设M（x1,y1）N（x2,y2）
联立y=k（x-1）与x²/4+y²/3=1得：
3x²+4k²（x-1）²-12=0
整理得：
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
由韦达定理：
x1+x2=4k²/(4k²+3)
x1*x2=(4k²-12)/(4k²+3)
由两点式写出AM,BN的方程
AM：y/(x+2)=y1/(x1+2)
BN：y/(x-2)=y2/(x2-2)
联立解出交点横坐标：
(x-2)/(x+2)=[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]①
因M,N在l上
故：y1=k（x1-1）y2=k（x2-1）
带入①式
[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]
=[(x2-2)k（x1-1）]/[(x1+2)k（x2-1）]
=[(x2-2)（x1-1）]/[(x1+2)（x2-1）]
=[x1x2-2x1-x2+2]/[x1x2-x1+2x2-2]
=[x1x2-(x1+x2)-x1+2]/[x1x2+2(x1+x2)-3x1-2]
=1/3
即(x-2)/(x+2)=1/3
解之x=4
故直线AM与BN的交点在直线x=4上